Fractional Numbers

實數分著整數 (integer) 和小數 (subinteger, fractional) 兩部份，中央是小數點 (decimal point，在二進位是 binal point)，小數是實數中比 ±1 小的部份。有時陣，有小數部份的實數嘛叫做小數，有可能是表示著分數的有限小數或循環小數、或是無理數的不循環又無限的小數。

DSP 指令假定 binal point convention 的位置如下表：

Register Size	Format	Notation	Sign Bit	Extension Bit	Fractional Bit
40-bit	Signed	9.31	1	8	31
	Unsigned	8.32	0	8	32
32-bit	Signed	1.31	1	0	31
	Unsigned	0.32	0	0	32
16-bit	Signed	1.15	1	0	15
	Unsigned	0.16	0	0	16

1.31 乘以 1.31 是 2.62，過程中需要右移 31 位、或左移一位後取前半段，以維持 1.31。但在一般 32-bit 處理器，只有整數乘法，且結果沒有 64 bits 或大於 32 bits 的空間，只能存後面 32 bits，變成相乘前兩者都要先右移 16-bit，變成 17.15 乘 17.15，結果是 34.30，實際只存後面的 2.30，再左移 1 位變成 1.31，精確度會差一點。

整數除法如何保留小數？被除數左移 16-bit、除數又移 16-bit？

int Q = a/b; // quotaent
int r = a - b * Q; // remainder
int f = 0;
int p = 0; // 十進位小數位數
while (r) {
    r *= 10;
    f *= 10;
    f += r/b;
    p++;
}

int Q = a/b; // quotaent
int r = a - b * Q; // remainder
int f = 0; // fraction
int p; // 二進位小數剩餘位數
for (p = 32; p > 0; p--) {
    f <<= 1;
    r <<= 1;
    q = r/b;
    f |= q;
    r -= b * q;
}

Saturation：結果大於最大值存成最大值，小於最小值存成最小值。

Overflow：結果超出暫存器範圍，捨棄 MSBs

Truncation 或 Rounding：移除 lower-order bits 減少 precision。

• 無條件捨去
• 四捨五入：中間值進位是 biased rounding
• 四捨六入 convergent rounding：中間值轉成最接近的偶數值是 unbiased rounding。二進位 0.01 少一位是 0.0，0.11 是 1.0

參考

1. Blackfin Processor Programming Reference

• GCC 使用 MIPS DSP ASE
• GCC 軟體 fixed-point 函式庫實作 fixed-point fractional 運算，只在特定 target 啟用。_Fract, _Accum, _Sat.
• fixed-point